PROFESOR: FRANCISCO JIMÉNEZ LÓPEZ.
Definiciones
MATEMÁTICAS FINANCIERAS. Son un conjunto de métodos matemáticos que permiten determinar el valor del dinero en el tiempo
CAPITAL. Es la cantidad de dinero que se invierte o se toma en préstamo.
INTERÉS. Es la cantidad de dinero que se paga por el uso del dinero obtenido en préstamo o la cantidad producida por la inversión del capital al transcurrir el tiempo.
PLAZO. Es el intervalo de tiempo que dura el préstamo o la inversión, normalmente la unidad de tiempo es el año.
TASA DE INTERÉS. Es la razón del interés devengado al capital , en la unidad de tiempo , normalmente la tasa de interés se proporciona en tanto por ciento (%) anual, a menos que se diga otra base de tiempo. Para operar la tasa de interés en las fórmulas se puede expresar en forma decimal. El plazo y la tasa de interés deben de tener la misma base de tiempo (años). Si las bases son diferentes ya sea que meses o días y años, se convierten a años. Su expresión matemática es:
El interés se puede expresar en términos del capital (), de la tasa de interés () y del tiempo (), como sigue:
——————————– (1)
INTERÉS SIMPLE. Cuando el interés () se paga al final del plazo (), por el préstamo o la inversión del capital (), al interés devengado o ganado se le llama interés simple.
MONTO SIMPLE. Es la cantidad acumulada del capital (C) más el interés (), al final del plazo, cuya expresión es:
————————————- (2)
Sustituyendo la expresión (1) en la expresión (2), se tiene la fórmula general para el monto simple, como sigue:
Dónde:
: monto simple;
: capital inicial;
: tasa de interés en tanto por ciento anual o expresada en forma decimal;
: plazo en años.
De la expresión (2) se puede obtener otra para el interés, como sigue:
…………………………(4)
Donde:
: interés simple;
: monto simple;
: capital inicial.
Ejemplo 1.
Determinar el monto simple, si se invierten $15 000.00 (quince mil pesos 00/100 m. n.) a un plazo de 5 años, a una tasa interés simple del 7% anual.
El diagrama de la operación se expresa por medio de una recta, que representa el tiempo sobre la cual se indican las cantidades del capital inicial (); el plazo () y la tasa de interés (). La pregunta es: ¿cuál es el monto simple al final del plazo? Y ¿cuál es el interés ganado al final del plazo?
20250, valor de venc.
=15 000
=7%=0.07
anual
t=5 años
Valor presente:
14/08/2021
Valor futuro:
14/08/2026
Este problema se resuelve utilizando la fórmula (3), del monto simple:
Sustituyendo valores se tiene: el monto buscado:
El monto es la cantidad de dinero que se acumula al transcurrir el tiempo, por lo tanto, es un valor futuro. La forma de garantizar el pago a futuro es, entre otros títulos de crédito, el pagaré. El fundamento legal del pagaré es el artículo 170 de la Ley General de Títulos y Operaciones de Crédito (LGTOC).
Valor presente o capital ()
Hay otros problemas donde se quiere saber qué cantidad invertir () hoy para tener cierta cantidad a futuro (), a una tasa de interés () determinada y a un plazo () fijo. Asimismo, se quiere saber el valor de una deuda en una fecha anterior a la de su vencimiento.
Para resolver este tipo de problemas se obtiene una nueva expresión a partir de la ecuación (3), despejando el capital (), queda de la siguiente forma:
Dónde:
: capital inicial o valor presente del dinero;
: monto o valor futuro del dinero;
: tasa de interés en tanto por ciento anual; y
: plazo en años. Para determinar el valor presente o capital, el plazo se determina a partir de la fecha de vencimiento para alcanzar el monto (S) propuesto.
Ejemplo 2.
¿Qué cantidad de dinero () se tiene que invertir hoy, para tener $60 000.00 en un plazo de 7 años, si la tasa de interés simple es del 9% anual?
E
36 809.80 l diagrama de la operación es:
t=7 años
anual
Valor presente:
14/07/2022
Valor futuro:
14/07/2029
Solución
A partir de la ecuación (5):
.
Este es el valor presente del dinero o capital.
Por lo tanto, la cantidad que se debe invertir hoy es $36 809.80, a la tasa de interés del 9% anual, para que dentro de siete años se tengan $60 000.00.
DERECHO MERCANTIL Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS
El derecho mercantil en el ámbito de su aplicación se auxilia de las matemáticas financieras como una herramienta matemática necesaria para determinar la equivalencia del valor del dinero en diferentes circunstancias y periodos de tiempo, con la finalidad de dar cumplimiento a las diferentes normas de carácter mercantil que regulan las relaciones entre comerciantes como tales, a los actos de comercio y a las relaciones jurídicas derivadas de la realización de tales actos de comercio
LEY GENERAL DE TITULOS Y OPERACIONES DE CREDITO (LGTOC)
TITULO PRELIMINAR
CAPITULO UNICO
Artículo 1o.- Son cosas mercantiles los títulos de crédito. Su emisión, expedición, endoso, aval o aceptación y las demás operaciones que en ellos se consignen, son actos de comercio. […].
Las operaciones de crédito que esta Ley reglamenta son actos de comercio.
Artículo 2o.- Los actos y las operaciones a que se refiere el artículo anterior, se rigen:
I.- Por lo dispuesto en esta Ley, y en las demás leyes especiales, relativas; en su defecto,
II.- Por la Legislación Mercantil general; en su defecto,
III.- Por los usos bancarios y mercantiles y, en defecto de éstos,
IV.- Por el Derecho Común, declarándose aplicable en toda la República, para los fines de esta ley, el Código Civil del Distrito Federal.
Artículo 16.- El título de crédito cuyo importe estuviere escrito a la vez en palabras y en cifras, valdrá, en caso de diferencia, por la suma escrita en palabras. Si la cantidad estuviere escrito varias veces en palabras y en cifras, el documento valdrá, en caso de diferencia, por la suma menor.
Artículo 17.- El tenedor de un título tiene la obligación de exhibirlo para ejercitar el derecho que en él se consigna. Cuando sea pagado, debe restituirlo. Si es pagado sólo parcialmente o en lo accesorio, debe hacer mención del pago en el título. En los casos de robo, extravío, destrucción o deterioro grave, se estará a lo dispuesto por los artículos 42 al 68, 74 y 75.
El pagaré3 es un título de crédito que contiene la promesa incondicional de pagar una suma determinada de dinero, que el suscriptor hace en favor del tenedor del documento.
CAPITULO III
Del pagaré
Artículo 170.- El pagaré debe contener:
I.- La mención de ser pagaré, inserta en el texto del documento;
II.- La promesa incondicional de pagar una suma determinada de dinero;
III.- El nombre de la persona a quien ha de hacerse el pago;
IV.- La época y el lugar del pago;
V.- La fecha y el lugar en que se subscriba el documento; y
VI.- La firma del suscriptor o de la persona que firme a su ruego o en su nombre.
Artículo 174.- Son aplicables al pagaré, en lo conducente, los artículos 77, párrafo final, 79, 80, 81, 85, 86, 88, 90, 109 al 116, 126 al 132, 139, 140, 142, 143, párrafos segundo, tercero y cuarto, 144, párrafos segundo y tercero, 148, 149, 150, fracciones II y III, 151 al 162, y 164 al 169.
Para los efectos del artículo 152, el importe del pagaré comprenderá los réditos caídos; el descuento del pagaré no vencido se calculará al tipo de interés pactado en éste, o en su defecto al tipo legal, y los intereses moratorios se computarán al tipo estipulado para ellos; a falta de esa estipulación, al tipo de rédito fijado en el documento, y en defecto de ambos, al tipo legal. (código de Comercio: CC, 6% interés legal)
[…]
De conformidad al artículo 174 de la LGTOC, el pagaré no vencido, en acuerdo entre el acreedor y el deudor, se puede descontar y su valor se calcula antes de la fecha de su vencimiento a la tasa de interés pactada en el título de crédito, o en su defecto al tipo legal (6%, CC).
La fórmula para calcular el valor presente, antes de la fecha del vencimiento del pagaré, es la de valor presente o capital:
Ejemplo 3.
Acreedor y deudor acuerdan liquidar un pagaré tres años antes de su fecha de vencimiento. Determinar el valor presente o capital del pagare con monto de $60 000.00, tres años antes de su fecha de vencimiento, con una tasa de interés simple del 9% anual
anual
anual
Valor futuro:
14/07/2029
Fecha de vencimiento
Valor presente:
14/07/2026
Fecha de valor presente
3 años
14/07/2022
Fecha de suscripción
El descuento (D) del pagaré se obtiene restándole al monto (S) el valor presente (C), como sigue: :
valor del descuento
Valor descontado del pagaré 3 años antes del vencimiento
Ejemplo 4.
Se hace un préstamo de $2 000.00 (dos mil pesos 00/100 m.n.), a un plazo de tres años, con Se prestan $2000.00, a un plazo de tres años, una tasa de interés simple del 10% anual. Determinar el monto a pagarse por la deuda al final del plazo. Así como el interés ganado en los tres años que dura la operación.
La representación esquemática de la operación del préstamo es la siguiente:
| t=3 años t=3 años S= C(1+it)=2000(1+10%(3))= S=2 600 Figura 1.13. Esquema del préstamo a interés simple. |
Utilizando la fórmula para determinar el monto simple:
Donde:
;
Por lo tanto, el monto simple al final de los tres años de duración de la operación del préstamo es:
Por lo tanto, el monto al final de los tres años es de: pesos
El interés () ganado al final del plazo se obtiene restándole al monto el valor de la inversión inicial:
pesos
Para garantizar el pago del préstamo más los intereses vencidos al final del plazo, se elabora un pagaré con valor de $2 600.00 (dos mil seiscientos pesos 00/100 m.n.), como se indica en las figuras 1 y 2, siguientes:
| PAGARÉ | Número: único | Bueno por: $ 2 600.00 |
| En la Ciudad de México a 14 de julio de 2022 | ||
| Debe(mos) y pagare(mos) incondicionalmente por este pagaré a la orden de: Javier Vega Sánchez, en Ciudad de Pachuca, Hgo. el 14de julio de 2025, la cantidad de: | ||
(Dos mil seiscientos pesos 00/100 m. n.) | ||
| Valor recibido a mi (nuestra) entera satisfacción. Este pagaré forma parte de una serie numerada de 1 al 1 ytodos están sujetos a la condición de que, al no pagarse cualquiera de ellos a su vencimiento, serán exigibles todos los que le sigan en número, además de los ya vencidos, desde la fecha de vencimiento de este documento hasta el día de su liquidación, causará intereses moratorios al tipo de 1% mensual, pagadero en esta ciudad. | ||
| Nombre y firma del deudor | Acepto(amos) y pagaré(mos) a su vencimiento | |
| Nombre: María Villalobos Pérez | ———————————————– | |
| Dirección: Antonio Caso #35, Col. Tabacalera, Alcaldía Cuauhtémoc, C.P. 7200 | ||
| Población: Ciudad de México | Tel.: 55 2612 1631 | Firma |
Figura 1. Anverso de pagaré
| AVAL (ES) |
Nombre: ________________________________________________________ Dirección:_______________________________________________________ Firma:_____________ |
Nombre:________________________________________________________ Dirección: _______________________________________________________ Firma:_____________ |
Figura 2. Reverso del pagaré.
De conformidad al artículo 174 de la LGTOC, el pagaré no vencido, en acuerdo entre el acreedor y el deudor, se puede descontar y su valor se calcula antes de la fecha de su vencimiento a la tasa de interés pactada en el título de crédito, o en su defecto al tipo legal (6%).
La fórmula para calcular el valor presente, antes de la fecha del vencimiento del pagaré, es la de valor presente o capital:
Ejemplo 5.
Acreedor y deudor acuerdan liquidar un pagaré cuatro años antes de su fecha de vencimiento. Determinar el valor presente o capital del pagare con monto de $60 000.00, cuatro años antes de su fecha de vencimiento, con una tasa de interés simple del 9% anual
anual
anual
El descuento (D) del pagaré se obtiene restándole al monto (S), el valor presente o capital (C), como sigue:
valor del descuento.
Valor futuro:
14/07/2029
Fecha de vencimiento
Valor presente:
14/07/2025
Fecha de valor presente
4 años
14/07/2022
Fecha de suscripción
=
Valor descontado del pagaré 4 años antes del vencimiento.
1 Cfr. AYRES, Frank, Jr, Matemáticas financieras, McGraw-Hill, México, 2003, pp. 40-gggg41
2 KOZIKOWSKI ZARSKA, Zbigniew, Matemáticas financieras, McGraw-Hill, México, 2007, p. 2.
3 PINA, Rafael De, Diccionario de derecho, trigésima edición, Porrúa, México, 2001, p. 394